ITALIANO

INTEGRALE DI RIEMANN, EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI, MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI DI PIU' VARIABILI, CENNI SULLE SUPERFICI.

P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.

e

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.

Oppure il solo testo:

Bramanti, Pagani, Salsa, Matematica (Calcolo Infinitesimale e Algebra lineare) Zanichelli Editore.

Conoscenze e capacità di comprendere: Al termine del corso lo studente deve aver consolidato le conoscenze di Matematica acquisite con l'insegnamento di "Istituzioni di Matematiche" e deve aver imparato ad applicarle alla risoluzione di semplici integrali e di equazioni differenziali, alla studio delle funzioni di due variabili reali, alla valutazione dei massimi e minimi di una funzione reale di due variabili.

Competenze: Alla fine del percorso di studio lo studente deve aver sviluppato la capacità di risolvere esercizi di vario tipo su tutti gli argomenti del corso.

Capacità di trarre conclusioni:
Alla fine del percorso di studio lo studente dovrebbe aver sviluppato la capacità di ragionamento necessaria per affrontare un nuovo problema, così come la precisione nell’organizzare il proprio lavoro e la capacità di verificare l’attendibilità dei risultati.

Capacità di apprendere:
Al termine del corso lo studente dovrebbe aver maturato le conoscenze e competenze di base dell’Analisi Matematica per affrontare, in futuro, applicazioni che possano rendersi necessarie all'interno di uno studio.

Tutti gli argomenti trattati nell'insegnamento "Istituzioni di Matematiche"

Lezioni frontali

Prova scritta e prova orale. La prova scritta è costituita da esercizi relativi a tutti gli argomenti, da svolgere giustificando i passaggi
logici eseguiti, e da una definizione o un enunciato di un teorema. La prova ha la durata di 2 ore e non possono essere consultati appunti o libri. La prova scritta è propedeutica alla prova orale, alla quale si può accedere solo se si ottiene una valutazione alla prova scritta maggiore o uguale a 18/30. La prova orale non è obbligatoria. Si ricorda inoltre che per sostenere l’esame, sia scritto che orale, è
necessario accertare l’identità del candidato; si raccomanda pertanto di portare con sé un documento d’identità valido.

Integrazione per funzioni di una variabile reale: Costruzione geometrica dell’integrale. Definizione di integrale definito. Additività dell’integrale. Linearità dell’integrale. Integrabilità di alcune classi di funzioni. Il teorema della media integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitiva di una funzione di una variabile reale. Definizione di integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione di alcune classi di funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

Funzioni di più variabili: Cenni di topologia. Limiti. Continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Derivate parziali del secondo ordine. Teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziale. Funzioni differenziabili. Teorema del differenziale. Funzioni con gradiente nullo. Massimi e minimi relativi. Punti di sella. Condizioni necessarie del primo ordine per massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi.

Equazioni differenziali ordinarie: Introduzione alle equazioni dif- ferenziali e al problema di Cauchy. Equazioni differenziali ordinarie (ODE). Integrale generale di una ODE. ODE in forma normale. ODE del primo ordine a variabili separabili. ODE lineari del primo ordine omogenee. ODE lineari del primo ordine non omogenee. ODE lineari omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine. ODE lineari non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine.

Richiami di geometria nello spazio e cenni sulle superfici:
Punti nello spazio, distanza tra due punti, punto medio, vettori geometrici e vettori algebrici, prodotto
scalare, prodotto vettoriale, vettori paralleli, rette nello spazio: equazione vettoriale ed equazione
parametrica. Posizioni relative di due rette. Piani nello spazio, parallelismo tra piani, perpendicolarità tra piani,
equazione cartesiana della retta, parallelismo tra retta e piano, perpendicolarità tra retta e piano. Equazione di una superficie nello spazio, cenni sulle quadriche: superficie sferica, calcolo del centro e
del raggio, superficie cilindrica, superficie conica.

Italian

RIEMANN INTEGRAL, ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, DIFFERENTIAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF MORE VARIABLES, MAXIMUM AND MINIMUM OF FUNCTIONS OF MORE VARIABLES, OUTLINE ON SURFACES.

P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.

and

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.

or the single book:
Bramanti, Pagani, Salsa, Matematica (Calcolo Infinitesimale e Algebra lineare) Zanichelli Editore.

Knowledge and ability to understand: At the end of the course the student will have consolidated the knowledge of Mathematics acquired during the course "Institutions of Mathematics" and will have learned to apply them to the resolution of simple integrals and differential equations, to the study of functions of two real variables, to the evaluation of the maxima and minima of a real function of two variables.

Skills: At the end of the course of study the student will have developed the ability to solve various types of exercises on all the topics of the course.

Making judgments:
Upon passing the exam the student should have developed the reasoning skills necessary to face a new problem, as well as the precision in organizing their work and the ability to verify the reliability of the results.

Learning skills:
At the end of the course the student should have gained the basic knowledge and skills of the Mathematical Analysis to face, in the future, possible applications that may become necessary within a study.

All the topics covered in the teaching "Institutions of Mathematics"

Lectures

Written and oral examination. The written part consists of exercises related to all the topics, to be performed justifying the logical steps, and by a definition or statement of a theorem. The written examination lasts 2 hours and notes or books can not be consulted. The written test is preparatory to the oral examination, which can be accessed only if an assessment is obtained in the written test greater than or equal to 18/30. The oral examination is not mandatory. It is also remembered that to take the exam, both written and oral, it is necessary to ascertain the identity of the candidate; it is therefore recommended to bring a valid ID card.

Integration for functions of a real variable: geometric construction of the integral. Definition of definite integral. Additivity of the integral. Linearity of the integral. Integrability of some classes of functions. The integral average theorem. The fundamental theorem of integral calculus. Primitive of a function of a real variable. Definition of indefinite integral. Immediate indefinite integrals. Integration by sum decomposition. Integration of some classes of rational functions. Integration by parts. Integration by substitution.

Functions of several variables: Topology. Limits. Continuity. Weierstrass' theorem. Theorem of intermediate values. Partial derivatives. Derivable functions. Partial derivatives of the second order. Schwarz's theorem. Gradient. Differential. Differentiable functions. Differential theorem. Functions with null gradient. Maximum and minimum relative. Saddle points. Necessary conditions of the first order for relative maximum and minimum. Sufficient conditions of the second order for relative maximum and minimum.

Ordinary differential equations: Introduction to differential equations and the Cauchy problem. Ordinary differential equations (ODE). General integral of an ODE. ODE in normal form. ODE of the first order with separable variables. Linear ODEs of the first order homogeneous. Linear ODEs of the first order not homogeneous. Linear homogeneous ODEs of second order with constant coefficients. Non-homogeneous second-order linear ODEs with constant coefficients.

Elements of geometry in space and outline of surfaces:
Points in space, distance between two points, midpoint, geometric vectors and algebraic vectors, scalar product, vector product, parallel vectors, lines in space: vector equation and parametric equation. Relative positions of two lines. Planes in space, parallelism between planes, perpendicularity between planes,
Cartesian equation of the line, parallelism between line and plane, perpendicularity between line and plane. Equation of a surface in space, hints on quadrics: spherical surface, calculation of the center and of the
radius, cylindrical surface, conical surface.