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    Francesca CRISPO

    Insegnamento di MATEMATICA GENERALE

    Corso di laurea magistrale a ciclo unico in ARCHITETTURA

    SSD: MAT/03

    CFU: 8,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 64,00

    Periodo di Erogazione: Secondo Quadrimestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    INTEGRALE DI RIEMANN, EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE, CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI, MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI DI PIU' VARIABILI, CURVE.

    Testi di riferimento

    P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.

    e

    N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.

    Oppure il solo testo:

    Bramanti, Pagani, Salsa, Matematica (Calcolo Infinitesimale e Algebra lineare) Zanichelli Editore.

    Obiettivi formativi

    Conoscenze e capacità di comprendere: Al termine del corso lo studente deve aver consolidato le conoscenze di Matematica acquisite con l'insegnamento di "Istituzioni di Matematiche" e deve aver imparato ad applicarle alla risoluzione di semplici integrali e di equazioni differenziali, al disegno di curve, alla rappresentazione delle funzioni di due variabili reali, alla valutazione dei massimi e minimi di una funzione.

    Competenze: Alla fine del percorso di studio lo studente deve aver sviluppato la capacità di risolvere esercizi di vario tipo su tutti gli argomenti del corso.

    Capacità di trarre conclusioni:
    Alla fine del percorso di studio lo studente dovrebbe aver sviluppato la capacità di ragionamento necessaria per affrontare un nuovo problema, così come la precisione nell’organizzare il proprio lavoro e la capacità di verificare l’attendibilità dei risultati.

    Capacità di apprendere:
    Al termine del corso lo studente dovrebbe aver maturato le conoscenze e competenze di base dell’Analisi Matematica per affrontare, in futuro, applicazioni che possano rendersi necessarie all'interno di uno studio.

    Prerequisiti

    Tutti gli argomenti trattati nell'insegnamento "Istituzioni di Matematiche"

    Metodologie didattiche

    Lezioni frontali

    Metodi di valutazione

    Prova scritta e prova orale. La prova scritta è costituita da esercizi relativi a tutti gli argomenti, da svolgere giustificando i passaggi
    logici eseguiti, e da una definizione o un enunciato di un teorema. La prova ha la durata di 2 ore e non possono essere consultati appunti o libri. La prova scritta è propedeutica alla prova orale, alla quale si può accedere solo se si ottiene una valutazione alla prova scritta maggiore o uguale a 18/30. La prova orale non è obbligatoria. Si ricorda inoltre che per sostenere l’esame, sia scritto che orale, è
    necessario accertare l’identità del candidato; si raccomanda pertanto di portare con sé un documento d’identità valido.

    Programma del corso

    Richiami di algebra lineare: Vettori numerici. Operazioni con i vettori numerici. Prodotto scalare euclideo. Vettori ortogonali. Prodotto vettoriale in R3. Vettori linearmente dipendenti. Vettori linearmente indipendenti. Elementi di calcolo matriciale. Determinante di una matrice quadrata. Matrice inversa di una matrice quadrata, matrici definite positive, definite negative, semidefinite positive, semidefinite negative, indefinite.

    Integrazione per funzioni di una variabile reale: Costruzione geometrica dell’integrale. Definizione di integrale definito. Additività dell’integrale. Linearità dell’integrale. Integrabilità di alcune classi di funzioni. Il teorema della media integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitiva di una funzione di una variabile reale. Definizione di integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione di alcune classi di funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

    Funzioni di più variabili: Cenni di topologia. Limiti. Continuità. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Derivate parziali del secondo ordine. Teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziale. Funzioni differenziabili. Teorema del differenziale. Teorema di derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Funzioni con gradiente nullo. Massimi e minimi relativi. Punti di sella. Condizioni necessarie del primo ordine per massimi e minimi relativi. Condizioni necessarie del secondo ordine per massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi. Funzioni a valori vettoriali. Gradiente, divergenza e rotore di un campo vettoriale.

    Equazioni differenziali ordinarie: Introduzione alle equazioni differenziali e al problema di Cauchy. Equazioni differenziali ordinarie (ODE). Integrale generale di una ODE. ODE in forma normale. ODE del primo ordine a variabili separabili. ODE lineari del primo ordine omogenee. ODE lineari del primo ordine non omogenee. ODE lineari omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine. ODE lineari omo- genee a coefficienti costanti di ordine superiore al secondo. ODE lineari non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine.

    Curve: Definizione di curva. Equazioni parametriche di una curva. Curve semplici. Curve chiuse. Curve regolari. Vettore tangente ad una curva. Retta tangente ad una curva in un punto. Curve come grafico di una funzione di variabile reale. Lunghezza di una curva. Curve rettificabili. Teorema di rettificabilità delle curve di classe C1.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    RIEMANN INTEGRAL, ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, DIFFERENTIAL CALCULUS FOR FUNCTIONS OF MORE VARIABLES, MAXIMUM AND MINIMUM OF FUNCTIONS OF MORE VARIABLES, CURVES.

    Textbook

    P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.

    and

    N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica Due, Liguori Editore.

    or the single book:
    Bramanti, Pagani, Salsa, Matematica (Calcolo Infinitesimale e Algebra lineare) Zanichelli Editore.

    Training objectives

    Knowledge and ability to understand: At the end of the course the student will have consolidated the knowledge of Mathematics acquired during the course "Institutions of Mathematics" and will have learned to apply them to the resolution of simple integrals and differential equations, the drawing of curves, the representation of functions of two real variables, to the evaluation of the maxima and minima of a function.

    Skills: At the end of the course of study the student will have developed the ability to solve various types of exercises on all the topics of the course.

    Making judgments:
    Upon passing the exam the student should have developed the reasoning skills necessary to face a new problem, as well as the precision in organizing their work and the ability to verify the reliability of the results.

    Learning skills:
    At the end of the course the student should have gained the basic knowledge and skills of the Mathematical Analysis to face, in the future, possible applications that may become necessary within a study.

    Prerequisite

    All the topics covered in the teaching "Institutions of Mathematics"

    Teaching methods

    Lectures

    Evaluation methods

    Written and oral examination. The written part consists of exercises related to all the topics, to be performed justifying the logical steps, and by a definition or statement of a theorem. The written examination lasts 2 hours and notes or books can not be consulted. The written test is preparatory to the oral examination, which can be accessed only if an assessment is obtained in the written test greater than or equal to 18/30. The oral examination is not mandatory. It is also remembered that to take the exam, both written and oral, it is necessary to ascertain the identity of the candidate; it is therefore recommended to bring a valid ID card.

    Course Syllabus

    Recall of algebra: Numerical vectors. Operations with numerical vectors. Euclidean scalar product. Orthogonal vectors. Vector product in R3. Linearly dependent vectors. Linearly independent vectors. Elements of matrix calculation. Determinant of a square matrix. Inverse matrix of a square matrix, matrices defined positive, defined negative, semidefinite positive, semidefinite negative, indefinite.

    Integration for functions of a real variable: geometric construction of the integral. Definition of definite integral. Additivity of the integral. Linearity of the integral. Integrability of some classes of functions. The integral average theorem. The fundamental theorem of integral calculus. Primitive of a function of a real variable. Definition of indefinite integral. Immediate indefinite integrals. Integration by sum decomposition. Integration of some classes of rational functions. Integration by parts. Integration by substitution.

    Functions of several variables: Topology. Limits. Continuity. Weierstrass' theorem. Theorem of intermediate values. Partial derivatives. Derivable functions. Partial derivatives of the second order. Schwarz's theorem. Gradient. Differential. Differentiable functions. Differential theorem. Derivative theorem of compound functions. Directional derivatives. Functions with null gradient. Maximum and minimum relative. Saddle points. Necessary conditions of the first order for relative maximum and minimum. Second order conditions necessary for relative maximum and minimum. Sufficient conditions for relative maximum and minimum. Functions with vector values. Gradient, divergence and rotor of a vector field.

    Ordinary differential equations: Introduction to differential equations and the Cauchy problem. Ordinary differential equations (ODE). General integral of an ODE. ODE in normal form. ODE of the first order with separable variables. Linear ODEs of the first order homogeneous. Linear ODEs of the first order not homogeneous. Linear homogeneous ODEs of second order with constant coefficients. Homogeneous linear ODEs with constant coefficients of higher order. Non-homogeneous second-order linear ODEs with constant coefficients.

    Curves: Definition of curve. Parametric equations of a curve. Simple curves. Closed curves. Regular curves. Vector tangent to a curve. Straight line tangent to a curve in a point. Curves as a graph of a real variable function. Length of a curve. Rectifiable curves. Rectificability theorem of class C1 curves.

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