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    Francesca CRISPO

    Insegnamento di EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

    Corso di laurea magistrale in MATEMATICA

    SSD: MAT/07

    CFU: 8,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 64,00

    Periodo di Erogazione: Primo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO/INGLESE

    Contenuti

    Il modello matematico della dinamica dei fluidi - Derivate distribuzionali, spazi di Sobolev - Gli spazi di funzioni dell’idrodinamica - Nozione di soluzione regolare e debole - Il metodo di Galerkin per soluzioni deboli e regolari - La teoria Lq - Soluzioni regolari definite per ogni istante di tempo: il caso bidimensionale e quello n-dimensionale per piccoli dati - Criteri di regolarità per le soluzioni deboli - Teorema di struttura nello spazio tempo di una soluzione debole, dimensione di Hausdorff dell’insieme dei punti di singolarità nello spazio tempo.

    Testi di riferimento

    O.A. Ladyzhenskaya, The mathematical theory of viscous incompressible fluid, Gordon and Breach.

    R. Temam, Navier-Stokes equations, North-Holland Pub. Co..

    P. Constantin and C. Foias, Navier-Stokes equations, Chicago Lectures in Mathematics.

    G.P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations, Springer tracts in Natural Philosophy.

    Obiettivi formativi

    Conoscenza e capacità di comprensione:
    il corso è un’introduzione allo studio della teoria matematica delle equazioni di Navier-Stokes fornendo l’interpretazione fisico matematica di alcuni risultati analitici.
    Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
    Il corso ha come obiettivo di mostrare lo stato dell’arte sui risultati noti e di illustrare alcune questioni aperte.
    Abilità comunicative :
    Lo studente acquista un linguaggio e un formalismo specifico delle equazioni di Navier-Stokes atti a descrivere i problemi analitici e i relativi risultati.
    Autonomia di giudizio (insegnamenti Magistrali monografici in cui sono presenti attività seminariali):
    In maniera guidata allo studente è fornita la letteratura sul topic in guisa che possa sia orientarsi per un arricchimento della propria preparazione che essere in grado di svolgere attività di seminari divulgativi.

    Prerequisiti

    Sono richieste conoscenze di base di meccanica dei fluidi e la conoscenza degli argomenti di Analisi Matematica e Geometria della laurea triennale, alcune nozioni di base degli spazi di Sobolev.

    Metodologie didattiche

    Lezioni frontali

    Metodi di valutazione

    L’esame prevede una prova orale di verifica della conoscenza degli argomenti e alcune dissertazioni sulle principali nozioni acquisite.

    Programma del corso

    Il modello matematico della dinamica dei fluidi - Derivate distribuzionali, spazi di Sobolev - Gli spazi di funzioni dell’idrodinamica - Nozione di soluzione regolare e debole - Il metodo di Galerkin per soluzioni deboli e regolari - La teoria Lq - Soluzioni regolari definite per ogni istante di tempo: il caso bidimensionale e quello n-dimensionale per piccoli dati - Criteri di regolarità per le soluzioni deboli - Teorema di struttura nello spazio tempo di una soluzione debole, dimensione di Hausdorff dell’insieme dei punti di singolarità nello spazio tempo.

    English

    Teaching language

    Italian/English

    Contents

    Navier-Stokes equations: a mathematical model of the dynamics of fluids - Weak derivatives, Sobolev spaces - The function spaces of the hydrodynamics - Weak and regular solutions: definitions - The Galerkin method for the existence of weak and of regular solutions - Lq theory - global solutions for small data - Regularity criterions - Structure theorem for a weak solution - Hausdorff dimension of the singular set.

    Textbook

    O.A. Ladyzhenskaya, The mathematical theory of viscous incompressible fluid, Gordon and Breach.

    R. Temam, Navier-Stokes equations, North-Holland Pub. Co..

    P. Constantin and C. Foias, Navier-Stokes equations, Chicago Lectures in Mathematics.

    G.P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations, Springer tracts in Natural Philosophy.

    Training objectives

    Knowledge:
    An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations with mathematical physics analysis of some results.

    Applying knowledge and understanding:
    The lectures have the task to furnish the state of the art of the problems and to point out some open problems.

    Communications skills:
    The student achieves a mathematical formalism charateristic of the Navier-Stokes equations which allows to describe the probelms and the results.

    Making judgements:
    It is furneshed the literature on the topic in such a way the students are able to give divulgative seminars and to improve their knowledge on the problematic.

    Prerequisite

    Backgroud on the mechanic of the fluids, Calculus I-III and Geometry, basic properties of Sobolev spaces.

    Teaching methods

    Lectures

    Evaluation methods

    The exam includes an oral test to verify the knowledge of the topics and some dissertations on the main concepts acquired.

    Course Syllabus

    Navier-Stokes equations: a mathematical model of the dynamics of fluids - Weak derivatives, Sobolev spaces - The function spaces of the hydrodynamics - Weak and regular solutions: definitions - The Galerkin method for the existence of weak and of regular solutions - Lq theory - global solutions for small data - Regularity criterions - Structure theorem for a weak solution - Hausdorff dimension of the singular set.

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