ITALIANO

Integrali definiti e indefiniti e formule di integrazione; Equazioni differenziali ordinari del primo e del secondo ordine, problemi di Cauchy e metodi per il calcolo delle soluzioni. Funzioni in due variabili e loro studio, calcolo differenziale e condizioni necessarie al secondo ordine per la ricerca di massimi e minimi.

A. Ventre, Matematica. Fondamenti e Calcolo. Wolters Kluwer 2021.

V. Villani, G. Gentili, Matematica, comprendere e interpretare fenomeni delle scienze della vita, Mc Graw Hill Education

D. Benedetto, M Degli Esposti, C. Maffei, Matematica per le scienze della vita, Casa Editrice Ambrosiana.

R. Pavani, A. Galli, Appunti di Calcolo Numerico per Architetti, soc. ed. Esculapio.

Conoscenza e capacità di comprensione (Knowledge and Understanding)
Al termine del corso lo studente avrà consolidato le conoscenze di Analisi Matematica acquisite nell'insegnamento di Istituzioni di Matematiche e sarà in grado di comprendere i principali concetti e metodi relativi all'integrazione di funzioni di una variabile reale, alle equazioni differenziali ordinarie, al calcolo differenziale per funzioni di più variabili e allo studio dei problemi di ottimizzazione per funzioni reali di due variabili.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (Applying Knowledge and Understanding)
Al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di esercizi e problemi riguardanti il calcolo di integrali, la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie, lo studio delle proprietà locali di funzioni di più variabili e la determinazione e classificazione di punti di massimo, minimo e sella.

Autonomia di giudizio (Making Judgements)
Al termine del corso lo studente sarà in grado di affrontare autonomamente problemi matematici di media complessità, individuando le strategie risolutive più appropriate, verificando la correttezza dei procedimenti adottati e valutando criticamente l'attendibilità dei risultati ottenuti.

Abilità comunicative (Communication Skills)
Al termine del corso lo studente sarà in grado di esporre con chiarezza e rigore logico i concetti, i metodi e i risultati dell'Analisi Matematica, utilizzando correttamente il linguaggio e la terminologia disciplinare sia nella forma scritta sia nella forma orale.

Capacità di apprendimento (Learning Skills)
Al termine del corso lo studente avrà acquisito le conoscenze e le competenze di base necessarie per affrontare insegnamenti successivi e applicazioni quantitative in ambito scientifico e professionale, sviluppando al contempo adeguate capacità di studio autonomo e di approfondimento dei contenuti matematici.

Tutti gli argomenti trattati nell'insegnamento "Istituzioni di Matematiche"

Lezioni frontali ed esercitazioni

L’esame si svolge con verifiche scritte ed eventuale orale integrativo. Sono previste prove di verifica intermedie. Durante la prova orale vengono valutate: l’adeguata conoscenza e comprensione degli argomenti di esame; la capacità del candidato di applicare le nozioni teoriche su casi concreti; chiarezza espositiva capacità di orientarsi in modo autonomo.
Per un quadro di riferimento della valutazione del livello complessivo di acquisizione dei contenuti e del raggiungimento degli obiettivi del corso da parte dello studente si consideri lo schema seguente:
- Mancato superamento dell’esame: il candidato non raggiunge alcun obiettivo formativo;
- Da 18 a 20: Livello appena sufficiente. Il candidato raggiunge solo i risultati previsti al punto “conoscenza e capacità di comprensione”;
- Da 21 a 23: Livello pienamente sufficiente. Il candidato raggiunge, in particolare, i risultati di apprendimento previsti ai punti “conoscenza e capacità di comprensione” e “applicazione di conoscenza e capacità di comprensione”;
- Da 24 a 26: Livello buono. Il candidato raggiunge i risultati di apprendimento previsti ai punti “conoscenza e capacità di comprensione”, “conoscenza e capacità di comprensione applicate” e “autonomia di giudizio”;
- Da 27 a 29: Livello molto buono. Il candidato raggiunge i risultati di apprendimento previsti ai punti “conoscenza e capacità di comprensione”, “conoscenza e capacità di comprensione applicate”, “autonomia di giudizio” e “abilità comunicative”;
- 30: Livello elevato. Il candidato raggiunge pienamente i risultati di apprendimento previsti in tutti i punti;
- 30 e lode: Livello eccellente. Il candidato raggiunge in maniera eccellente tutti i risultati di apprendimento previsti.

- Sono previsti materiali di supporto on line, forniti dal docente;
- Saranno condivise le slides utilizzate durante le lezioni;
- Sono previste attività di tutorato.

Integrazione per funzioni di una variabile reale: Costruzione geometrica dell’integrale. Definizione di integrale definito. Additività dell’integrale. Linearità dell’integrale. Integrabilità di alcune classi di funzioni. Il teorema della media integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitiva di una funzione di una variabile reale. Definizione di integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione di alcune classi di funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.

Equazioni differenziali ordinarie: Introduzione alle equazioni dif- ferenziali e al problema di Cauchy. Equazioni differenziali ordinarie (ODE). Integrale generale di una ODE. ODE in forma normale. ODE del primo ordine a variabili separabili. ODE lineari del primo ordine omogenee. ODE lineari del primo ordine non omogenee. ODE lineari omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine. ODE lineari non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine.

Funzioni di più variabili: Cenni di topologia. Limiti. Continuità. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali. Funzioni derivabili. Derivate parziali del secondo ordine. Teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziale. Funzioni differenziabili. Teorema del differenziale. Funzioni con gradiente nullo. Massimi e minimi relativi. Punti di sella. Condizioni necessarie del primo ordine per massimi e minimi relativi. Condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi.

Italian

Definite and indefinite integrals and integration formulas; First- and second-order ordinary differential equations, Cauchy problems, and methods for calculating solutions. Functions of two variables and their study, differential calculus, and second-order necessary conditions for finding maxima and minima.

A. Ventre, Matematica. Fondamenti e Calcolo. Wolters Kluwer 2021.

V. Villani, G. Gentili, Matematica, comprendere e interpretare fenomeni delle scienze della vita, Mc Graw Hill Education

D. Benedetto, M Degli Esposti, C. Maffei, Matematica per le scienze della vita, Casa Editrice Ambrosiana.

R. Pavani, A. Galli, Appunti di Calcolo Numerico per Architetti, soc. ed. Esculapio.

Knowledge and Understanding
By the end of the course, students will have consolidated their knowledge of Mathematical Analysis acquired in the Basics of Mathematics course and will be able to understand the main concepts and methods related to the integration of functions of one real variable, ordinary differential equations, differential calculus for functions of several variables, and the study of optimization problems for real functions of two variables.

Applying Knowledge and Understanding
By the end of the course, students will be able to apply their theoretical knowledge to solving exercises and problems involving the calculus of integrals, the solution of ordinary differential equations, the study of local properties of functions of several variables, and the determination and classification of maximum, minimum, and saddle points.

Making Judgements
By the end of the course, students will be able to independently address mathematical problems of moderate complexity, identifying the most appropriate solution strategies, verifying the accuracy of the procedures adopted, and critically evaluating the reliability of the results obtained.

Communication Skills
By the end of the course, students will be able to clearly and logically explain the concepts, methods, and results of mathematical analysis, using appropriate language and terminology in both written and oral presentations.

Learning Skills
By the end of the course, students will have acquired the basic knowledge and skills necessary to undertake subsequent courses and quantitative applications in scientific and professional settings, while also developing adequate independent study skills and in-depth understanding of mathematical content.

All the topics covered in the course "Institutions of Mathematics"

Lectures and exercises

The exam is written, with a possible oral contribution, if necessary. Intermediate tests are included. The oral exam assesses: adequate knowledge and understanding of the exam topics; the candidate's ability to apply theoretical concepts to concrete cases; clarity of presentation; and the ability to independently navigate the topic.
For a framework for assessing the student's overall level of content acquisition and achievement of the course objectives, please consider the following:
- Failure to pass the exam: the candidate does not achieve any learning objectives;
- 18 to 20: Barely sufficient. The candidate achieves only the results expected under "knowledge and understanding";
- 21 to 23: Fully sufficient. The candidate achieves, in particular, the learning outcomes expected under "knowledge and understanding" and "application of knowledge and understanding";
- 24 to 26: Good. The candidate achieves the learning outcomes for "knowledge and understanding," "applied knowledge and understanding," and "independent judgment."
- 27 to 29: Very good. The candidate achieves the learning outcomes for "knowledge and understanding," "applied knowledge and understanding," "independent judgment," and "communication skills."
- 30: High level. The candidate fully achieves the learning outcomes for all the areas.
- 30 cum laude: Excellent level. The candidate achieves all the learning outcomes with excellence.

- Online support materials will be provided by the instructor;
- Slides used during the lectures will be shared;
- Tutoring activities will be provided.

Integration by functions of one real variable: Geometric construction of the integral. Definition of definite integral. Additivity of the integral. Linearity of the integral. Integrability of some classes of functions. The integral mean theorem. The fundamental theorem of integral calculus. Primitive of a function of a real variable. Definition of indefinite integral. Immediate indefinite integrals. Integration by sum decomposition. Integration of some classes of rational functions. Integration by parts. Integration by substitution.

Ordinary differential equations: Introduction to differential equations and the Cauchy problem. Ordinary differential equations (ODE). General integral of an ODE. ODE in normal form. First order ODE with separable variables. Homogeneous first order linear ODEs. Inhomogeneous first order linear ODEs. Linear homogeneous ODEs with second order constant coefficients. Inhomogeneous linear ODEs with second order constant coefficients.

Functions of several variables: Basics of topology. Limits. Continuity. Weierstrass theorem. Partial derivatives. Derivable functions. Partial derivatives of the second order. Schwarz theorem. Gradient. Differential. Differentiable functions. Differential theorem. Functions with zero gradient. Relative maxima and minima. saddle points. First order necessary conditions for relative maxima and minima. Sufficient conditions for relative maxima and minima.