ITALIANO

RICHIAMI DI GEOMETRIA E ALGEBRA VETTORIALE E TENSORIALE

ELEMENTI DI CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDO

ELEMENTI DI MECCANICA NEWTONIANA E DI MECCANICA ANALITICA

STATICA DEI CORPI RIGIDI

GEOMETRIA DELLE MASSE

STATICA GRAFICA

1 Il testo principale di riferimento indicato per lo studente è costituito dagli appunti del corso presi in prima persona dallo studente in aula.

2 G. COLONNETTI. I Fondamenti della Statica. Utet, Torino, 1927.

3 T.LEVI CIVITA, U. AMALDI. Lezioni di Meccanica Razionale, Volumi I e II. Zanichelli, Bologna, 1927.

4 F. STOPPELLI. Appunti di Meccanica Razionale. Libreria Liguori, Napoli, 1963.

5 F. STOPPELLI, l. SALVADORI. Appunti di Statica Grafica. Libreria Liguori, Napoli, 1963.

6 O. BELLUZZI. Scienza delle Costruzioni. Volume I, Zanichelli, Bologna, 1984.

7 E. BENVENUTO. La scienza delle costruzioni e il suo sviluppo storico. Edizioni di storia e letteratura, Roma, 2010.
8

S. RIONERO. Lezioni di Meccanica Razionale. Liguori Editore, Napoli, 1976.


9 E. VIOLA. Esercizi di Scienza delle Costruzioni, Vol I, Strutture isostatiche e geometria delle masse. Pitagora Editrice, Bologna, 1993.

10 A. D’ANNA, P. RENNO. Elementi di Meccanica Razionale, Vol.I e II. CUEN, Napoli, 1995.

11 B. D’ACUNTO, P. MASSAROTTI. Meccanica Razionale per l’Ingegneria. Maggioli Editore, Santangelo di Romagna, 2016.

12 P. CASINI, M. VASTA. Scienza delle Costruzioni. De Agostini Scuola, Novara, 2011

Il corso ha i seguenti obiettivi:

- 1. Fornire gli elementi necessari per comprendere, sulla base di procedimenti logico-deduttivi e di principi moderni, la Statica dei corpi rigidi e dei sistemi rigidi vincolati.

- 2. Fornire i fondamenti di Cinematica e alcuni selezionati elementi di Dinamica necessari per la comprensione dei principi della Statica. E

- 3. Fornire strumenti e metodi di base per l’analisi cinematica e statica di sistemi piani elementari di corpi rigidi vincolati.

Conoscenza e comprensione degli elementi di base di Analisi, Geometria e Fisica

Lezioni in aula con l'ausilio di strumenti digitali

Prova scritta e orale. La prova orale verte sugli argomenti del corso affrontati in aula. La prova scritta propone allo studente la risoluzione di problemi di cinematica e statica della tipologia affrontata nel corso delle esercitazioni in aula. È richiesto il supertamento della prova scritta per accedere alla prova orale.

La frequenza è altamente raccomandata e la frequenza ad almeno il 70% delle lezioni è obbligatoria. L'ausilio di album di carta millimetrata squadrette, compasso, goniometro e metro flessibile è altamente raccomandato.

RICHIAMI DI GEOMETRIA E ALGEBRA VETTORIALE E TENSORIALE
• Richiami di Geometria e Algebra. Spazio puntuale affine. Spazio puntuale affine Euclideo. Spazio vettoriale dei segmenti orientati equipollenti. Proprietà della somma. Proprietà del prodotto esterno. Proprietà del prodotto scalare. Riconoscimento della struttura di spazio puntuale affine Euclideo dello spazio fisico. Modulo di un vettore. Normalizzazione. Versori. Basi. Coordinate. Scomposizione di un vettore secondo tre direzioni non complanari. Grandezze invarianti. Grandezze affette dal cambiamento di base. Coordinate controvarianti. Convenzione di Einstein. Basi ortonormali. Coordinate covarianti. Cambio di base. Legge di trasformazione delle coordinate controvarianti al cambiamento di base. Forma Cartesiana del prodotto scalare. Retta affine. Piano affine. Simbolo di Levi Civita. Determinante. Prodotto vettoriale. Doppio prodotto vettoriale. Prodotto misto. Teorema di Carnot. Esercizi ed esempi. Tensori. Tensori del secondo ordine. Definizione. Esercizi ed esempi. Coordinate di un tensore. Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali e rappresentazione in coordinate. Prodotto tensoriale. Proiettori. Esempi. Tensore trasposto. Trasposto del prodotto tensoriale. Composizione di tensori. Rappresentazione in coordinate della composizione di tensori. Esempi di composizione di tensori. Cambiamenti di configurazione. Tensore inverso. Isometrie. Tensori ortogonali. Rotazioni. Derivata temporale di un tensore. Antisimmetria della derivata temporale di un tensore ortogonale. Rappresentazione del cambio di base tra riferimenti ortonormali levogiri mediante tensori di rotazione. Trasformazione delle coordinate di un vettore. Trasformazione delle coordinate di un tensore.


ELEMENTI DI CINEMATICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDO
• Sistemi discreti. Sistemi continui. Cambiamenti di configurazione di tipo rigido. Moti rigidi piani; Moti composti. Cinematica dei sistemi vincolati. Vincoli. Gradi di libertà e coordinate Lagrangiane. Analisi degli spostamenti elementari di sistemi piani di corpi rigidi. Atto di moto rigido. Rappresentazione Lagrangiana ed Euleriana dell'atto di moto rigido. Esempi di moti di tipo rigido e di atti di moto rigido. Moto traslatorio. Moto circolare uniforme. Moto rototraslatorio. Moto elicoidale. Moto elicoidale uniforme. Atto di moto elicoidale. Caratterizzazione bipuntuale dell'atto di moto rigido. Invariante cinematico. Asse di Mozzi. Esempio di calcolo dell'asse di Mozzi. Moti rigidi piani. Moti rigidi infinitesimi. Asse della rotazione infinitesima. Moto rigido infinitesimo piano. Centro di rotazione di un moto rigido infinitesimo piano. Teorema di Chasles. Moto rigido infinitesimo traslatorio. Centri di rotazione impropri. Conseguenza dell'esistenza di due centri di rotazione. Caratterizzazione bipuntuale del moto rigido infinitesimo piano. Esercitazione: calcolo analitico e grafico del centro di rotazione in un moto rigido infinitesimo piano. Moto rigido infinitesimo relativo. Teorema di allineamento dei centri. Elementi di cinematica del punto. Elementi di cinematica dei sistemi. Cambio di sistema di riferimento Cartesiano. Sistema di coordinate solidale a un corpo rigido. Angoli di Eulero. Trasformazione di velocità e accelerazione con il sistema di riferimento. Velocità e accelerazione relativa e assoluta. Velocità di trascinamento. Accelerazione di trascinamento. Accelerazione complementare o 'di Coriolis'. Sistemi di riferimento inerziali. Richiami sulla geometria delle curve e sugli elementi di cinematica del punto. Ascissa curvilinea. Versore tangente. Richiami di cinematica del punto. Espressione di velocità e accelerazione in funzione dell'ascissa curvilinea. Velocità tangenziale. Accelerazione centripeta. Accelerazione tangenziale. Equazione della circonferenza. Curvatura. Raggio di curvatura. Normale principale. Prima formula di Frenet. Retta tangente e cerchio osculatore di una curva generica. Piano osculatore. Espressione dell'accelerazione centripeta in funzione del raggio di curvatura.



ELEMENTI DI MECCANICA DEL PUNTO E DEL CORPO RIGIDO
• Introduzione alla Dinamica. Principio di relatività di Galileo. Principi della Dinamica nel sistema assiomatico di Newton. Principio di Inerzia. Principio di proporzionalità tra forza e accelerazione. Principio di azione e reazione. Sistemi di punti materiali. Caratteristiche del concetto di forza. Vettori applicati. Leggi di forza. Invarianza delle leggi di interazione rispetto al riferimento. Forza gravitazionale. Forza elastica. Lavoro di una forza. Forze conservative. Forze posizionali. Potenziale gravitazionale. Forze interne e Forze esterne. Determinismo dinamico. Risultante di un sistema di forze. Momento risultante di un Sistema di Forze. Prima forma delle equazioni cardinali della dinamica. Quantità di moto e momento della Quantità di Moto di un sistema di masse puntiformi. Seconda forma delle Equazioni Cardinali della Dinamica. Gradi di libertà. Definizione. Esempi: punto libero, punto vincolato, corpo rigido libero, corpo rigido piano, sistemi di corpi rigidi e punti materiali. Equazioni di vincolo. Vincoli olonomi e anolonomi. Vincoli fissi. Vincoli bilaterali. Vincoli omogenei. Vincoli puntuali. Vincoli lineari. Teorema dei sistemi di funzioni implicite. Sistemi lineari. Sistemi non lineari. Grado di libertà residuo di sistemi vincolati. Spostamenti infinitesimi di un sistema meccanico non vincolato. Spostamenti infinitesimi di un sistema vincolato. Spostamenti virtuali. Grado di labilità e iperstaticità. Equazioni cardinali della dinamica per il corpo rigido libero. Espressione della quantità di moto e del momento angolare per il corpo rigido libero. Centro di massa. Tensore di Inerzia. Espressione del lavoro elementare di un sistema di forze agenti su sistemi di punti materiali soggetti a spostamenti rigidi. Proprietà del Momento Risultante di un sistema di forze. Legge di variazione del momento al variare del polo. Equivalenza di Sistemi di Forze. Criteri di Equivalenza. Teorema di Varignon. Momento assiale. Sistemi di forze notevoli. Sistemi equilibrati. Criteri di equilibrio. Sistema di due forze equilibrato. Sistema di una forza. Coppie. Classi di equivalenza di sistemi di forze. Trasporto di una forza. Trinomio invariante. Asse centrale di un sistema di forze. Asse centrale di sistemi notevoli. Sistema di due forze equilibrate. Sistema di tre forze equilibrate. Sistemi di forze parallele. Centro di un sistema di forze parallele. Sistemi di forze piani. Poligono funicolare. Descrizione continua dei sistemi di forze. Campi vettoriali. Carico uniformemente distribuito. Carico distribuito triangolare. Analisi cinematica del corpo rigido. Linearizzazione dele equazioni di vincolo. Matrice cinematica. Grado di labilità. Grado di iperstaticità. Vincoli esterni. Vincolo cerniera esterna. Vincolo carrello esterno. Vincolo doppio pendolo esterno. Vincolo incastro esterno. Vincolo doppio doppio pendolo esterno. Calcolo del grado di labilità e iperstaticità di corpo rigido piano vincolato. Calcolo con l'ausilio dell'analisi dei centri. Analisi di sistemi soggetti a equazioni di vincolo nonlineari. Parametri Lagrangiani. Gradi di libertà del sistema vincolato e relazione con il grado di labilità. Introduzione all'equilibrio dei sistemi vincolati. Equazioni Cardinali della Statica per un singolo corpo rigido. Sistemi di forze vincolari. Vincoli lisci. Caratterizzazione statica dei vincoli lisci puntuali: cerniera esterna, carrello esterno, doppio pendolo esterno, doppio doppio pendolo esterno, incastro esterno. Matrice statica. Caratterizzazione grafica delle azioni esplicabili da vincoli lisci esterni. Equazioni Cardinali della Statica per sistemi composti da più corpi rigidi. Calcolo della matrice statica di sistemi elementari composti da più corpi rigidi piani vincolati. Vincoli interni. Cerniera interna. Pendolo interno. Doppio pendolo interno. Doppio doppio pendolo interno. Incastro interno. Richiami sul teorema di allineamento dei centri. Calcolo del grado di labilità e iperstaticità di sistemi rigidi piani vincolati elementari composti da un singolo corpo rigido. Caratterizzazione statica di vincoli lisci interni: cerniera interna, pendolo interno, doppio pendolo interno, doppio doppio pendolo interno, incastro interno. Caratterizzazione grafica delle azioni esplicabili da vincoli lisci interni. Risoluzione statica di sistemi piani elementari per via grafica.


ELEMENTI DI MECCANICA ANALITICA
• Introduzione alla meccanica analitica. Desunzione delle Equazioni di Lagrange per sistemi di punti materiali soggetti a vincoli lisci olonomi bilaterali. Componenti Lagrangiane della sollecitazione attiva. Componenti Lagrangiane della sollecitazione delle forze di inerzia. Energia cinetica. Matrice delle masse. Equazioni di Lagrange per sistemi dinamici elementari notevoli: punto materiale libero, punto vincolato a una curva, corpo rigido piano libero e vincolato. Carattere determinista delle Equazioni di Lagrange. Sollecitazioni conservative. Funzione Lagrangiana. Relazione tra matrice statica e matrice cinematica per sistemi soggetti a vincoli lisci. Principio dei Lavori virtuali. Applicazione del PLV su sistemi rigidi piani elementari soggetti a vincoli lisci bilaterali.
GEOMETRIA DELLE MASSE
• Geometria delle masse/aree. Baricentro, significato geometrico e relazione con centro di massa e centro di un sistema di forze parallele. Sistemi discreti di punti. Baricentro di un sistema di due punti. Momento statico di un sistema di punti. Formula di trasporto del momento statico. Sistemi continui. Baricentro di un sistema continuo monodimensionale, bidimensionale e tridimensionale. Baricentro di schemi notevoli: barra omogenea, barra non omogenea, rettangolo omogeneo, triangolo, disco omogeneo, sistema di punti allineati, sistema di punti complanari. Baricentro di sistemi dotati di piani di simmetria e di piani diametrali coniugati a una direzione. Calcolo del baricentro con il metodo della decomposizione. Appartenenza del baricentro agli insiemi convessi contenenti il sistema. Esempi ed esercizi: baricentro di una sezione ad 'L', baricentro di sezioni decomponibili in rettangoli, baricentro di sistemi composti da elementi continui e punti.
Tensore di Inerzia per sistemi di punti materiali. Rappresentazione tensoriale. Rappresentazione matriciale. Momento di Inerzia relativo a un asse. Raggio di inerzia. Momenti di inerzia di un sistema di due punti materiali. Tensore di Inerzia e Momenti di inerzia per sistemi continui. Momenti di inerzia di una sezione rettangolare. Formula di trasporto del momento di Inerzia (teorema di Huygens). Tensori di inerzia e momenti di inerzia impiegati nella teoria delle travi inflesse. Formule di trasporto del tensore di inerzia. Proprietà del tensore di inerzia. Decomposizione spettrale del tensore di Inerzia. Calcolo delle direzioni principali di inerzia e dei momenti principali di inerzia. Ellisse centrale di inerzia. Rette coniugate rispetto all'ellisse centrale di inerzia. Esercitazione riepilogativa sulla geometria delle masse: calcolo dell'ellisse centrale di inerzia di una sezione decomponibile in rettangoli.


PARTE ESERCITATIVA SULLA MECCANICA DEI SISTEMI RIGIDI PIANI VINCOLATI
• Applicazioni dell’equivalenza di sistemi elementari piani di forze. Determinazione dell’asse centrale di un sistema elementare piano di forze applicate. Applicazione del metodo del poligono funicolare. Analisi cinematica e statica di un sistema vincolato composto da due corpi rigidi piani vincolati: determinazione della matrice cinematica; analisi del grado di labilità e iperstaticità; analisi cinematica con l'ausilio del metodo dei centri e delle catene cinematiche; calcolo delle reazioni vincolari con le equazioni cardinali della statica. Calcolo delle reazioni vincolari mediante applicazione del principio dei lavori virtuali come condizione di equilibrio pura. Calcolo delle reazioni vincolari con l’ausilio di costruzioni grafiche.

Italian

GEOMETRY AND VECTOR AND TENSOR ALGEBRA

FUNDAMENTALS OF POINT AND RIGID BODY KINEMATICS

FUNDAMENTALS OF POINT AND RIGID BODY MECHANICS

ELEMENTS OF ANALYTICAL MECHANICS

GEOMETRY OF MASSES

GRAPHICAL STATICS

1 Il testo principale di riferimento indicato per lo studente è costituito dagli appunti del corso presi in prima persona dallo studente in aula.

2 G. COLONNETTI. I Fondamenti della Statica. Utet, Torino, 1927.

3 T.LEVI CIVITA, U. AMALDI. Lezioni di Meccanica Razionale, Volumi I e II. Zanichelli, Bologna, 1927.

4 F. STOPPELLI. Appunti di Meccanica Razionale. Libreria Liguori, Napoli, 1963.

5 F. STOPPELLI, l. SALVADORI. Appunti di Statica Grafica. Libreria Liguori, Napoli, 1963.

6 O. BELLUZZI. Scienza delle Costruzioni. Volume I, Zanichelli, Bologna, 1984.

7 E. BENVENUTO. La scienza delle costruzioni e il suo sviluppo storico. Edizioni di storia e letteratura, Roma, 2010.
8

S. RIONERO. Lezioni di Meccanica Razionale. Liguori Editore, Napoli, 1976.


9 E. VIOLA. Esercizi di Scienza delle Costruzioni, Vol I, Strutture isostatiche e geometria delle masse. Pitagora Editrice, Bologna, 1993.

10 A. D’ANNA, P. RENNO. Elementi di Meccanica Razionale, Vol.I e II. CUEN, Napoli, 1995.

11 B. D’ACUNTO, P. MASSAROTTI. Meccanica Razionale per l’Ingegneria. Maggioli Editore, Santangelo di Romagna, 2016.

12 P. CASINI, M. VASTA. Scienza delle Costruzioni. De Agostini Scuola, Novara, 2011

The course objectives are the following:

- 1. to provide students with fundamental elements necessary for understanding and comprehending, on the basis of logical-deductive procedures, the principles and foundations of Statics of rigid bodies and constrained systems.

- 2. to provide students with fundamentals of Kinematics and selected basic elements of Dynamics necessary for comprehending the pronciples of Statics

- 3. to provide students with fundamental tools and basic methods for the kinematic and static analysis of elementary planar systems of constrained rigid bodies.

Knowledge and understanding of fundamental elements of Calculus, Geometry and Physics

Classroom lessons supported by digital education tools

Oral and written examination. The oral exam covers the subjects of the course dealt with in the classroom lessons. In the written exam the student is asked to solve problems of kinematics and statics of the same typology dealt with in the exercise classes.

Attendance is highly recommended and mandatory at a minimum of 70% of classroom lessons. Use of graph paper album, compass drawing tool, set squares, goniometer and flexible meter is highly recommended.

"GEOMETRY AND VECTOR AND TENSOR ALGEBRA
• Review of elements of Geometry and Algebra. Affine point space. Affine Euclidean point space. Vector space of equivalent oriented segments. Properties of sum. Properties of the external product. Scalar product and related properties. Euclidean point space structure of the physical ambient space. Modulus of a vector. Normalization. Unit vectors. Bases. Coordinates. Decomposition of a vector along three non-coplanar directions. Invariant quantities. Quantities affected by basis change. Contravariant components. Einstein Convention. Orthonormal bases. Covariant components. Basis change. Transformation law for contravariant coordinates related to the change of basis. Cartesian form of the scalar product. Affine straight line. Affine plane. Levi Civita symbol. Determinant. Vector product. Double vector product. Triple product. Carnot's theorem. Exercises. Tensors. Second order tensors. Definition. Examples. Coordinates of a tensor. Linear transformations between spaces and coordinate representation. Tensor product. Projectors. Examples. Transpose tensor. Transpose of the tensor product. Tensor composition. Coordinate representation of tensor composition. Examples of tensor composition. Changes of configuration. Inverse tensor. Isometries. Orthogonal tensors. Rotations. Time derivative of a tensor. Antisymmetry of the temporal derivative of orthogonal tensors. Representation of the change of orthonormal left-handed bases by means of rotation tensors. Transformation of vector coordinates. Transformation of tensor coordinates.

FUNDAMENTALS OF POINT AND RIGID BODY KINEMATICS
• Discrete systems. Continuous systems. Rigid changes of configurations. Rigid motions. Plane rigid motions. Composition of motions. Kinematics of constrained systems. Constraints. Degrees of freedom and Lagrangian coordinates. Analysis of elementary displacements of planar systems of rigid bodies. Instantaneous velocity field of a rigid motion. Lagrangian and Eulerian representations of the instantaneous velocity field of a rigid motion. Examples of rigid motions and related instantaneous velocity fields. Translational motion. Uniform circular motion. Roto-translational motion. Helicoidal motion. Uniform helicoidal motion. Instantaneous velocity field of helicoidal motion in the spatial picture. Two-point characterization of the spatial velocity field of rigid motions. Kinematic invariant. Mozzi’s axis. Examples of calculation of Mozzi’s axis. Plane rigid motions. Infinitesimal rigid motions. Axis of infinitesimal rotation. Instantaneous center of rotation of an infinitesimal rigid motion. Chasles’s theorem. Infinitesimal plane rigid motion. Improper instantaneous centers of rotation. Consequence of the existence of two instantaneous centers of rotation. Two-point characterization of infinitesimal rigid motion. Exercise: analytical and graphical determination of the instantaneous rotation center of an infinitesimal rigid motion. Infinitesimal relative rigid motion. Theorem of alignment of instantaneous centers of rotation. Elements of point kinematics. Elements of kinematics of systems. Change of Cartesian reference frame. In-built coordinate frame of a rigid body. Euler angles. Transformation of velocity and acceleration according to the reference frame. Relative and absolute velocity and acceleration. Drag velocity and acceleration. Complementary Coriolis acceleration. Inertial reference frames. Review of elements of geometry of curves and of point kinematics. Curvilinear abscissa. Tangent unit vector. Expression of velocity and acceleration as function of the curvilineal abscissa. Tangential velocity. Centripetal acceleration. Tangential acceleration. Circumference equation. Curvature. Radius of curvature. Principal normal unit vector. First Frenet formula. Tangent line and osculating circle of a generic curve. Osculating plane. Expression of centripetal acceleration as a function of the radius of curvature.


FUNDAMENTALS OF POINT AND RIGID BODY MECHANICS
• Introduction to Dynamics. Galileo's principle of relativity. Principles of Dynamics in Newton's axiomatic system. Principle of Inertia. Proportionality principle between force and acceleration. Action-reaction principle. Systems of material points. Concept of Force. Applied vector fields. Force laws. Invariance of interaction laws with respect to reference frame. Gravitational force. Elastic force. Work of a force. Conservative forces. Positional forces. Gravitational potential. Internal forces and external forces. Dynamic determinism. Resultant of a system of forces. Resultant momentum of a system of forces. First form of the Cardinal Equations of Dynamics. Momentum and angular momentum of a system of point masses. Second form of the Cardinal Equations of Dynamics. Degrees of freedom. Definition. Examples: free point, constrained point, unconstrained rigid body, planar rigid body, system of rigid bodies and material points. Constraint equations. Holonomic and non-holonomic constraints. Time-independent constraints. Bilateral constraints. Homogeneous constraints. Point constraints. Linear constraints. Implicit function theorem for systems of equations. Linear systems. Non-linear systems. Residual degree of freedom of constrained systems. Infinitesimal displacements of an unconstrained mechanical system. Infinitesimal displacements of a constrained system. Virtual displacements. Degrees of static and dynamic indeterminacy. Cardinal equations of dynamics for the unconstrained rigid body. Momentum and angular momentum of a rigid body. Center of mass. Inertia tensor. Expression of the elementary work of a system of forces acting on systems of material points subject to rigid displacements. Properties of the moment resultant of a system of forces. Change of resultant momentum as function of point. Equivalence of systems of forces. Equivalence criteria. Varignon's theorem. Axial momentum. Fundamental systems of forces. Equilibrated systems. Equilibrium criteria. Equilibrated two-force system. Couples. Equivalence classes of force systems. Translation of a force to a parallel position. Invariant trinomial. Central axis of a force system. Central axis of fundamental systems. System of two parallel applied vectors. System of three balanced vectors. Parallel force systems. Center of a system of parallel forces. Planar systems of forces. Funicular polygon. Continuous description of force systems. Vector fields. Uniformly distributed load. Distributed triangular load. Kinematic analysis of rigid motions. Linearization of constraint equations. Kinematic matrix. Degrees of kinematic and static indeterminacy. External constraints. External hinge. External roller support. Double external rod. Fixed support. Double articulated parallelogram. Degrees of static and dynamic indeterminacy of a planar rigid body subject to elementary point constraints. Calculation with the aid of the analysis of the instantaneous rotation centers. Analysis of systems subject to nonlinear constraint equations. Lagrangian parameters. Degrees of freedom of the constrained system and relationship with the degree of kinematic indeterminacy. Equilibrium of constrained systems. Cardinal equations of Statics for the individual rigid body. Constraint reactions. Smooth/frictionless constraints. Static characterization of smooth point constraints: external hinge, external roller, double external rod, external double articulated parallelogram, external fixed support. Static matrix. Graphical characterization of the reactions of external smooth point constraints. Internal constraints. Internal hinge. Internal connecting rod. Double internal rod. Internal double articulated parallelogram. Internal fixed support. Applications of the theorem of alignment of instantaneous rotation centers. Calculation of the degrees of kinematic and static indeterminacy of a constrained rigid body. Static characterization of smooth internal constraints: internal hinge, internal connecting rod, double internal rod, internal double articulated parallelogram, internal fixed support. Cardinal equations of Statics for systems of rigid bodies. Calculation of the static matrix of elementary constrained planar rigid systems. Graphical characterization of the reactions of internal smooth constraints. Graphical resolution of the statics of elementary planar systems.

ELEMENTS OF ANALYTICAL MECHANICS
• Introduction to analytical mechanics. Deduction of Lagrange Equations for systems of material points subject to bilateral smooth holonomic constraints. Lagrangian components of applied forces. Lagrangian components of inertia forces. Kinetic energy. Mass matrix. Lagrange equations for elementary systems: free material point, point bound to a curve, unconstrained and constrained planar rigid bodies. Deterministic character of Lagrange equations. Conservative systems of applied forces. Lagrangian function. Relationship between static matrix and kinematic matrix for systems subject to smooth constraints. Principle of Virtual Works (PLV). Application of PLV on rigid elementary planes subject to bilateral smooth constraints..


GEOMETRY OF MASSES
• Geometry of masses and inertial properties of planar systems of rigid bodies. Center of gravity, geometric meaning and relationship with the center of mass and with the center of a system of parallel forces. Discrete systems of points. Center of gravity of a two-point system. Static moment of a system of point masses. Formula for the change of static moment. Continuous systems. Center of gravity of continuous one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional systems. Center of gravity of elementary domains: homogeneous bar, non-homogeneous bar, homogeneous rectangle, triangle, homogeneous disk, systems of aligned points, systems of coplanar points. Center of gravity of systems with symmetry planes and diametrical planes conjugated with one direction. Calculation of the center of gravity by decomposition methods. Center of gravity of systems contained in convex sets. Examples and exercises: center of gravity of an L-shaped section, center of gravity of rectangles assemblages, center of gravity of systems composed of continuous elements and points.
• Moment of inertia tensor of material point systems. Tensor representation. Matrix representation. Moment of Inertia about an axis. Radius of gyration. Moments of inertia of a system of two material points. Inertia tensor and moment of inertia of continuous systems. Moments of inertia of a rectangular section. Huygens theorem. Inertia tensors and moments of inertia used in the theory of beams. Inertia tensor transport formulas. Properties of the inertia tensor. Spectral decomposition of the Inertia tensor. Principal axes of inertia and moments of inertia. Ellipse of inertia. Straight lines conjugated to the inertia ellipse. Summary exercises on the geometry of masses: calculation of the ellipse of inertia of a domain made of rectangles.

EXERCISE PART ON PLANAR CONSTRAINED RIGID SYSTEMS
• Applications of the equivalence of elementary planar systems of forces. Calculation of the central axis of a planar elementary system of applied forces. Application of the funicular polygon method. Kinematic and static analysis of elementary constrained systems of two planar rigid bodies: determination of kinematic matrix; analysis based on kinematic chains and on the determination of the instantaneous centers of rotation; determination of the degrees of kinematic and static indeterminacy; calculation of constraint reactions via the cardinal equations of statics. Calculation of constraint reactions via the principle of virtual works employed as a condition of pure equilibrium. Calculation of constraint reactions via graphical methods. "