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    Viviana VENTRE

    Insegnamento di ISTITUZIONI DI MATEMATICHE

    Corso di laurea magistrale a ciclo unico in ARCHITETTURA

    SSD: MAT/03

    CFU: 8,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 64,00

    Periodo di Erogazione: Primo Quadrimestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    - Cenni di teoria degli insiemi ed elementi di geometria analitica;
    - concetto di funzione e richiami su alcune funzioni elementari;
    - limiti di funzioni
    - funzioni continue e proprietà delle funzioni continue definite in intervalli;
    - calcolo differenziale in R e sua applicazione allo studio del grafico di una funzione;
    - cenni sulle funzioni di più variabili reali

    Testi di riferimento

    Ventre A. MATEMATICA, metodi per il calcolo e la rappresentazione. Aracne Editrice, 2018.

    Obiettivi formativi

    Le principali conoscenze fornite dal corso saranno: - i concetti di numero reale e di funzione reale di variabile reale; - i concetti di estremo inferiore e di estremo superiore per insiemi e funzioni; - il concetto di limite di una funzione; - alcuni metodi per il calcolo dei limiti; - il concetto di continuità di una funzione reale di variabile reale; - il concetto di derivabilità di una funzione reale e i metodi per il calcolo delle derivate; - alcuni cenni sulle funzioni reali di due variabili reali.
    Le principali abilità che gli studenti dovranno acquisire (ossia le capacità di applicare le conoscenze) saranno: - saper verificare le proprietà dei numeri reali e determinare particolari insiemi di numeri reali; - saper determinare l'estremo inferiore e/o l'estremo superiore di insiemi e funzioni; - saper verificarne le proprietà di funzioni reali e riconoscere le principali funzioni elementari (potenza, logaritmo, esponenziale, trigonometriche, ...); - saper verificare secondo definizione il limite di funzioni reali; - saper calcolare il limite di funzioni reali con vari metodi; - saper verificare le proprietà di continuità delle funzioni reali; - saper determinare la derivabilità di funzioni reali; - saper calcolare le derivate di ogni ordine di funzioni reali derivabili; - saper studiare una funzione reale di variabile reale e disegnarne un accurato grafico qualitativo;
    - saper interpretare il grafico di una funzione: riconoscere dal disegno gli intervalli dove la funzione cresce o decresce e dove assume valori positivi o negativi; individuare i punti di massimo o di minimo; riconoscere eventuali simmetrie (funzioni pari, funzioni dispari).

    Prerequisiti

    Sono richieste le conoscenze di base dell'Analisi Matematica che usualmente vengono insegnate nella scuola media superiore.

    Metodologie didattiche

    Il corso si sviluppa in 8 crediti, per 64 ore complessive di lezione da effettuarsi nel primo semestre. Circa metà delle ore di lezione sono dedicate ad esempi ed esercizi. Il corso prevede lezioni teoriche, accompagnate da esercitazioni alla lavagna svolte dal docente su tutti gli argomenti trattati e/o proiezione di slide. Per gli studenti frequentanti, c’è inoltre la possibilità di effettuare varie prove parziali che, se superate, permettono l’accesso diretto alla prova orale.
    La frequenza del corso è obbligatoria secondo il Regolamento Didattico di Ateneo, è fortemente consigliata perché dà la possibilità di accedere a prove intercorso e/o a simulazioni di esame.

    Metodi di valutazione

    Obiettivo dell’esame di profitto è la verifica di un adeguato livello di raggiungimento degli obiettivi formativi del corso, sia rispetto alle conoscenze che rispetto alle abilità. Il voto finale dell'esame di Istituzioni di Matematiche è obbligatoriamente determinato da:
    - un voto per lo scritto, acquisito eventualmente mediante prove parziali, - una eventuale valutazione della prova orale

    Altre informazioni

    nessuna

    Programma del corso

    Capitolo 1 Linguaggio. Insiemi 1
    Par 1.1 Linguaggio e 1.2 Insiemi
    Capitolo 2
    Par 2.1 I numeri naturali, 2.2 I numeri primi, 2.3 I numeri interi 2.4 I numeri razionali, 2.5 I numeri reali.
    Capitolo 3 Relazioni
    Par. 3.1 Sul concetto di relazione, 3.2 Prodotto cartesiano di insiemi. Relazioni, 3.2.1 Proprietà delle relazioni, 3.3 Relazioni di ordine, 3.3.2 Ordine totale, 3.4 Relazione di preferenza.
    Capitolo 4 Geometria euclidea
    Par. 4.1 Introduzione4.1.1 Primi assiomi, 4.1.2 Nomenclatura. Ulteriori assiomi, 4.2 Figure geometriche, 4.2.1 Figure convesse e figure concave, 4.2.2 Angoli, 4.2.3 Relazioni tra rette e piani nello spazio, 4.2.4 Relazioni tra piani nello spazio, 4.2.5 Proiezioni, 4.2.6 Angolo di una retta con un piano
    Capitolo 5 Insiemi numerici
    Par. 5.1 La retta reale, 5.1.1 Uguaglianze, identità e equazioni, 5.3 Intervalli, distanze, intorni, valore assoluto, 5.3.1 Un’equazione e una disequazione con valore assoluto, 5.5 Insiemi limitati. Estremi di insiemi numerici, 5.6 Insiemi separati. Insiemi contigui.
    Capitolo 6 Funzioni
    Par. 6.1 Generalità, 6.1.1 Funzioni suriettive, iniettive, biunivoche, 6.2 Insiemi equipotenti. Insiemi infiniti, insiemi finiti, 6.4 Funzioni composte.
    Capitolo 7 La funzione lineare. La retta
    Par 7.1 Il piano cartesiano, 7.1.1 Distanza, 7.2 La funzione lineare, 7.2.1 La funzione costante, 7.2.2 La funzione identica, 7.2.3 La funzione f(x) = kx, 7.2.4 Retta passante per l’origine. Sommario, 7.2.5 La funzione f(x) = kx + n, 7.4 La funzione valore assoluto, 7.5 Un modello lineare, 7.6 Funzioni invertibili e funzioni inverse.
    Capitolo 8 Spazi vettoriali numerici
    Par 8.1 Coppie e terne di numeri reali, 8.2 Spazi vettoriali reali, 8.3 Lo n-spazio vettoriale numerico, 8.3.1 Combinazioni lineari di vettori di Rn, 8.4 Prodotto scalare.
    Capitolo 9 Vettori geometrici
    9.1 Grandezze scalari e grandezze vettoriali, 9.2 Vettori liberi e vettori applicati, 9.2.1 Addizione di vettori liberi, 9.2.2 Moltiplicazione di uno scalare per un vettore libero, 9.3 Lato di chiusura di un poligono, 9.4 Proprietà delle operazioni con i vettori liberi, 9.5 Componenti di un vettore del piano, 9.6 Riferimento cartesiano e vettori dello spazio, 9.7 Versori.
    Capitolo 10 Sistemi di equazioni lineari. Metodi di riduzione
    Par 10.1 Sistemi di equazioni lineari, 10.3 Riduzione di un sistema. Metodo di sostituzione.
    Capitolo 11 Matrici e determinanti. Sistemi di equazioni lineari
    Par. 11.1 Generalità, 11.2 Determinanti, 11.3 Proprietà dei determinanti, 11.6 Prodotto di matrici, 11.7 Rango di una matrice
    Capitolo 12 Funzioni elementari

    Par 12.1 Introduzione, 12.2 Funzioni monotòne, 12.3 Funzioni invertibili e funzioni inverse, 12.4 La potenza, 12.6 La radice, 12.9 La funzione esponenziale, 12.9.1 Il numero di Nepero, 12.10 Il logaritmo 12.11 Le funzioni circolari, 12.11.1 L’equazione della circonferenza, 12.11.2 La circonferenza goniometriche, 12.11.3 Le funzioni seno, coseno e tangente
    Capitolo 14 Limiti
    Par 14.1 Introduzione, 14.2 Definizione, 14.2.2 Unicità del limite, 14.3 Limiti delle funzioni elementari, 14.3.1 Quando il denominatore è piccolo, 14.4 Proprietà dei limiti, 14.4.1 Operazioni 14.4.4 Limite della funzione composta, 14.4.5 Limite destro, limite sinistro, 14.4.6 Ancora sui limiti delle funzioni elementari
    Capitolo 15 Continuità
    Par 15.1 Funzioni continue.
    Capitolo 16 Derivate. Differenziali
    Par. 16.1 Introduzione, 16.2 Definizione, 16.3 Significato geometrico, 16.4 Prime proprietà, 16.4.1 Derivate di alcune funzioni elementari, 16.5 Operazioni sulle derivate, 16.6 Derivate delle funzioni composte, 16.7 Derivate delle altre funzioni elementari, 16.7.1 Sulla derivata della funzione esponenziale, 16.8 Derivata destra e derivata sinistra, 16.8.1 Derivate di ordine superiore.
    Capitolo 17 Teoremi del calcolo. Grafici
    Par 17.1 Introduzione, 17.2 Punti di minimo relativo e di massimo relativo, 17.8 Convessità, concavità, flesso, 17.8.1 Convessità e concavità. Definizioni, 17.1Asintoti, 17.10.1 Asintoti verticali, 17.10.2 Asintoti orizzontali, 17.10.3 Asintoti obliqui, 17.11Studio del grafico di una funzione.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    - Sets theory and some hints of analytical geometry;
    - concept of real function of one real variable;
    - limits of functions;
    - continuous functions and their properties when defined in intervals;
    - differential calculus in one dimension and its application to the study of the function graph;
    - some hints a.bout the differential calculus in more than one dimension

    Textbook

    Ventre A. MATEMATICA, metodi per il calcolo e la rappresentazione. Aracne Editrice, 2018.

    Training objectives

    The main knowledges provided by the course will be:
    - the concept of real function of one variable;
    - the concepts of lower bound and upper bound for sets and functions;
    - the concept of limit;
    - calculation rules about limits;
    - the concept of continuity of a real function of one variable;
    - the concept of differentiability of a real function of one variable and calculation rules.
    The main skills will be:
    - to verify the properties of real numbers and determine particular sets of real numbers;
    - to determine the lower bound and / or the upper bound of sets and functions;
    - to verify the properties of real functions and recognize the main elementary functions (power, logarithm, exponential, trigonometric, ...);
    - to verify the limit of real functions according to the definition;
    - to calculate the limit of real functions;
    - to verify the continuity property of real functions;
    - to determine the derivative of real functions;
    - to calculate the derivatives of high order of real functions;
    - to study a real function of one real variable and draw an accurate quality graph;
    - to interpret the properties of a function by its graph: recognize where the function grows or decreases and where it takes positive or negative values; identify maximum or minimum points; recognize the symmetric properties.

    Prerequisite

    Typical high school syllabus

    Teaching methods

    The course consists of 8 credits (64 hours) to be held in the first semester. It is organized with theoretical lessons, exercises and tutoring activity. For attending students, there is also the possibility to make several partial tests that, if passed, allow direct access to the oral exam.
    The attendance of the course is compulsory, and it is strongly recommended because it gives you the opportunity to access exams and / or exam simulations.

    Evaluation methods

    The Exam purpose is to verify an adequate level of the course's contents, both in terms of knowledge and skills. The final grade is mandatory determined by:
    - a score for the written exam, possibly acquired by partial tests,
    - a possible evaluation of the oral exam.

    Others

    none

    Course Syllabus

    Capitolo 1 Linguaggio. Insiemi 1
    Par 1.1 Linguaggio e 1.2 Insiemi
    Capitolo 2
    Par 2.1 I numeri naturali, 2.2 I numeri primi, 2.3 I numeri interi 2.4 I numeri razionali, 2.5 I numeri reali.
    Capitolo 3 Relazioni
    Par. 3.1 Sul concetto di relazione, 3.2 Prodotto cartesiano di insiemi. Relazioni, 3.2.1 Proprietà delle relazioni, 3.3 Relazioni di ordine, 3.3.2 Ordine totale, 3.4 Relazione di preferenza.
    Capitolo 4 Geometria euclidea
    Par. 4.1 Introduzione4.1.1 Primi assiomi, 4.1.2 Nomenclatura. Ulteriori assiomi, 4.2 Figure geometriche, 4.2.1 Figure convesse e figure concave, 4.2.2 Angoli, 4.2.3 Relazioni tra rette e piani nello spazio, 4.2.4 Relazioni tra piani nello spazio, 4.2.5 Proiezioni, 4.2.6 Angolo di una retta con un piano
    Capitolo 5 Insiemi numerici
    Par. 5.1 La retta reale, 5.1.1 Uguaglianze, identità e equazioni, 5.3 Intervalli, distanze, intorni, valore assoluto, 5.3.1 Un’equazione e una disequazione con valore assoluto, 5.5 Insiemi limitati. Estremi di insiemi numerici, 5.6 Insiemi separati. Insiemi contigui.
    Capitolo 6 Funzioni
    Par. 6.1 Generalità, 6.1.1 Funzioni suriettive, iniettive, biunivoche, 6.2 Insiemi equipotenti. Insiemi infiniti, insiemi finiti, 6.4 Funzioni composte.
    Capitolo 7 La funzione lineare. La retta
    Par 7.1 Il piano cartesiano, 7.1.1 Distanza, 7.2 La funzione lineare, 7.2.1 La funzione costante, 7.2.2 La funzione identica, 7.2.3 La funzione f(x) = kx, 7.2.4 Retta passante per l’origine. Sommario, 7.2.5 La funzione f(x) = kx + n, 7.4 La funzione valore assoluto, 7.5 Un modello lineare, 7.6 Funzioni invertibili e funzioni inverse.
    Capitolo 8 Spazi vettoriali numerici
    Par 8.1 Coppie e terne di numeri reali, 8.2 Spazi vettoriali reali, 8.3 Lo n-spazio vettoriale numerico, 8.3.1 Combinazioni lineari di vettori di Rn, 8.4 Prodotto scalare.
    Capitolo 9 Vettori geometrici
    9.1 Grandezze scalari e grandezze vettoriali, 9.2 Vettori liberi e vettori applicati, 9.2.1 Addizione di vettori liberi, 9.2.2 Moltiplicazione di uno scalare per un vettore libero, 9.3 Lato di chiusura di un poligono, 9.4 Proprietà delle operazioni con i vettori liberi, 9.5 Componenti di un vettore del piano, 9.6 Riferimento cartesiano e vettori dello spazio, 9.7 Versori.
    Capitolo 10 Sistemi di equazioni lineari. Metodi di riduzione
    Par 10.1 Sistemi di equazioni lineari, 10.3 Riduzione di un sistema. Metodo di sostituzione.
    Capitolo 11 Matrici e determinanti. Sistemi di equazioni lineari
    Par. 11.1 Generalità, 11.2 Determinanti, 11.3 Proprietà dei determinanti, 11.6 Prodotto di matrici, 11.7 Rango di una matrice
    Capitolo 12 Funzioni elementari

    Par 12.1 Introduzione, 12.2 Funzioni monotòne, 12.3 Funzioni invertibili e funzioni inverse, 12.4 La potenza, 12.6 La radice, 12.9 La funzione esponenziale, 12.9.1 Il numero di Nepero, 12.10 Il logaritmo 12.11 Le funzioni circolari, 12.11.1 L’equazione della circonferenza, 12.11.2 La circonferenza goniometriche, 12.11.3 Le funzioni seno, coseno e tangente
    Capitolo 14 Limiti
    Par 14.1 Introduzione, 14.2 Definizione, 14.2.2 Unicità del limite, 14.3 Limiti delle funzioni elementari, 14.3.1 Quando il denominatore è piccolo, 14.4 Proprietà dei limiti, 14.4.1 Operazioni 14.4.4 Limite della funzione composta, 14.4.5 Limite destro, limite sinistro, 14.4.6 Ancora sui limiti delle funzioni elementari
    Capitolo 15 Continuità
    Par 15.1 Funzioni continue.
    Capitolo 16 Derivate. Differenziali
    Par. 16.1 Introduzione, 16.2 Definizione, 16.3 Significato geometrico, 16.4 Prime proprietà, 16.4.1 Derivate di alcune funzioni elementari, 16.5 Operazioni sulle derivate, 16.6 Derivate delle funzioni composte, 16.7 Derivate delle altre funzioni elementari, 16.7.1 Sulla derivata della funzione esponenziale, 16.8 Derivata destra e derivata sinistra, 16.8.1 Derivate di ordine superiore.
    Capitolo 17 Teoremi del calcolo. Grafici
    Par 17.1 Introduzione, 17.2 Punti di minimo relativo e di massimo relativo, 17.8 Convessità, concavità, flesso, 17.8.1 Convessità e concavità. Definizioni, 17.1Asintoti, 17.10.1 Asintoti verticali, 17.10.2 Asintoti orizzontali, 17.10.3 Asintoti obliqui, 17.11Studio del grafico di una funzione.

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