ITALIANO

1. Numeri Reali
2. Funzioni reali,
disequazioni, domini
3. Limiti di funzione
4. Calcolo differenziale
5. Applicazioni delle
derivate
6. Matrici e sistemi
lineari
7. Elementi di Geometria
Analitica
8. Integrazione

- P. Marcellini, C. Sbordone. Matematica generale, Liguori Editore, Napoli, 2007.
- P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica 1, parte I e II, Liguori Editore, Napoli, 1991.

L’insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze di base della matematica e di fare acquisire loro padronanza nell’applicare le tecniche di calcolo in modo da saperle applicare, adeguatamente, agli specifici problemi
matematici che incontrerà nel suo percorso di studi.
1. Conoscenza e comprensione:
Lo studente deve dimostrare conoscenza e comprensione dei concetti di base dell’analisi e l’uso di adeguato linguaggio scientifico e simbolico. Partendo dagli usuali insiemi numerici, ci si propone di condurre lo studente lungo un percorso che, partendo dalle regole del calcolo elementare, arrivi a fargli sviluppare la capacità di comprendere il testo di un esercizio, tradurlo nel corrispondente problema matematico per poi dedurre la strategia adeguata ed ottimale di risoluzione. In particolare, lo studente dovrà essere in grado di rappresentare il grafico di una funzione di una variabile reale; dedurre le proprietà di una funzione a partire dall’osservazione del suo grafico, calcolare integrali indefiniti e definiti; risolvere sistemi lineari, eseguire operazioni tra vettori e matrici e calcolare il rango di una matrice.
Il metodo matematico da utilizzare deve essere basato su: comprensione del testo, osservazione dei dati, uso di adeguate argomentazioni teoriche, individuazione di possibili e ottimali strategie di risoluzione e, infine, descrizione dei contenuti che sia rigorosa ed espressa con proprietà di linguaggio.

2.Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente deve dimostrare di aver acquisito di competenza sulle nozioni e capacità di applicarle alla risoluzione di esercizi e problemi, preferendo un approccio ed un utilizzo logico-deduttivo delle proprietà degli strumenti matematici coinvolti, piuttosto che una loro applicazione meccanica. Questo, non solo al fine di ottimizzare i tempi di risoluzione di un problema, ma, soprattutto, per sviluppare e consolidare la capacità di ragionare per comprendere, di volta in volta, quali siano sia la strada e le proprietà ottimali da applicare allo specifico problema in oggetto, procedendo con precisione, ordine mentale, ed esponendo i contenuti con chiarezza e uso appropriato di simbologia e linguaggio scientifico.

Autonomia di giudizio:
Lo studente deve dimostrare di essere in grado di tradurre in termini matematici un problema che descriva un fenomeno reale.

Abilità comunicative:
Lo studente deve dimostrare di avere la capacità di esporre, con un certo rigore, le conoscenze acquisite, rispondendo in modo chiaro ed esaustivo alle domande della prova orale.

Capacità di apprendimento:
Lo studente deve dimostrare la capacità di apprendimento delle metodologie acquisite e di sapere utilizzare gli strumenti matematici per la risoluzione di problemi.

Teoria degli insiemi. L’insieme dei numeri interi, razionali e reali ed operazioni eseguibili. Regole di base del calcolo elementare: m.c.m. e M.C.D., calcolo di espressioni algebriche, prodotti notevoli, scomposizioni di polinomi, proprietà delle potenze e operazioni tra potenze, operazioni tra radicali, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Nozioni di base di geometria analitica: coordinate di un punto nel piano, retta, coefficiente angolare di una retta, condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra due rette.

L’insegnamento prevede lezioni orali con modalità interattive. Presentazione di concetti con esempi ed esercizi. Momenti laboratoriali con esercitazioni e complementi collettivi. Poiché la frequenza è obbligatoria, essa è fortemente raccomandata e verificata, alla fine di ciascuna lezione, attraverso la sottoscrizione con firma dello studente di un foglio di presenza preparato dal docente.

La verifica si compone di una prova scritta e di una prova orale. La valutazione, in trentesimi, sarà ottenuta come media degli esiti delle due prove.
La prova scritta (della durata di 120 minuti) è articolata in n. 4 esercizi relativi agli argomenti del programma, e n. 5 quesiti teorici facoltativi.
I n.4 esercizi sono così assegnati:
n. 2 esercizi su argomenti a scelta tra: studio di funzione, determinazione del dominio, degli asintoti, del segno, della derivata, della monotonia, degli estremi relativi di una funzione;
n. 1 esercizio sul calcolo matriciale e/o lo studio della compatibilità di un sistema lineare mediante l’utilizzo del calcolo matriciale;
n.1 esercizio sul calcolo di un integrale immediato o che si possa ricondurre ad un integrale immediato, mediante semplici artifici.
I n.5 quesiti teorici facoltativi vertono a scelta su tutti gli argomenti del programma.
Durante la prova scritta non è consentito consultare testi e appunti o utilizzare supporti informatici (quali ad esempio smartphone, tablet, pc, ecc.).
Nella prova scritta sarà valutata la capacità dell’alunno di approcciare esercizi e problemi, attivando procedure corrette di calcolo e ragionamenti rigorosi per la loro risoluzione, con eventuali collegamenti tra argomenti diversi. Sarà anche valutata la capacità di presentare elaborati ordinati e coerenti nell’esposizione.
Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 18/30.
In caso di risposta esaustiva ai quesiti facoltativi assegnati nella prova scritta, la prova orale si limiterà ad una discussione sui contenuti affrontati, al solo scopo di valutare la capacità dello studente di argomentare gli stessi esponendo con precisione, rigore ed adeguato linguaggio scientifico.
In caso di risposta nulla o parziale ai quesiti facoltativi, si procederà ad una discussione completa o parziale, volta ad indagare le conoscenze degli argomenti del programma svolto e la proprietà di linguaggio nell’esposizione degli stessi.
La prova orale è finalizzata a verificare le conoscenze e competenze acquisite. Lo studente sarà valutato in base alla conoscenza dei contenuti svolti, alla capacità di argomentare gli stessi mediante opportuni ragionamenti logico-deduttivi, oltre all’autonomia di giudizio, all’abilità comunicativa e alla capacità di apprendimento.

Sono previste attività di tutorato

1. Numeri Reali (2h)
Cenni di teoria degli insiemi. Gli insiemi numerici IN, Z, e Q. Insieme dei numeri reali e teoria assiomatica di IR.
2. Funzioni Reali - disequazioni - domini (14h)
Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzioni invertibili. Composizione di funzioni. Funzioni monotone. Grafico di una funzione. Funzioni elementari, proprietà, studio dell'invertibilità e grafici : funzione lineare, funzione valore assoluto, funzioni potenza ( con particolare riferimento agli esponenti 2 e 3), funzione radice ( con particolare riferimento agli indici 2 e 3) funzione esponenziale, funzione logaritmica. Funzioni trigonometriche: proprietà, studio dell'invertibilità, loro inverse e grafici.
Equazioni e disequazioni di primo grado e di secondo grado. Sistemi di disequazioni, Disequazioni fratte. Disequazioni esponenziali. Disequazioni logaritmiche. Disequazioni con il valore assoluto. Insiemi di definizione. Esercizi.
3. Limiti di funzione (4h)
Limite di funzione: definizioni. Limite sinistro e limite destro di una funzione. Esempi e proprietà dei limiti di funzioni. Operazioni con i limiti e forme indeterminate. Funzioni continue. Discontinuità di una funzione: classificazione. Asintoti di una funzione. Esercizi.
4. Calcolo differenziale (7h)
Definizione di derivata. Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili. Operazioni con le derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Derivate della funzione costante. Derivata di tutte le funzioni elementari e loro inverse. Significato geometrico della derivata. Retta tangente. Derivate seconde. Esercizi.
5. Applicazioni delle derivate (5h)
Massimo e minimo assoluto e relativo di una funzione. Teorema di Fermat (solo enunciato). I teoremi di Rolle e Lagrange: enunciato e significato geometrico. Funzioni crescenti e funzioni decrescenti: criterio di monotonia. Il Teorema di De L'Hospital. Studio del grafico di una funzione. Studio delle proprietà di una funzione a partire dall’osservazione del suo grafico. Esercizi.
6. Matrici e . Sistemi lineari (7h)
Matrici . Operazioni con le matrici : somma di matrici, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice 2x2. Determinante di una matrice 3x3 . Proprietà dei determinanti. Matrici: simmetriche, antisimmetriche, diagonali, triangolari, scalari. Matrici invertibili. Inversa di una matrice. Minori di una matrice. Rango di una matrice. Forma matriciale di un sistema lineare. Studio della compatibilità di un sistema lineare. Il teorema di Cramer. Il teorema di Rouchè-Capelli. Sistemi omogenei: teorema sulla esistenza di soluzioni non banali. Esercizi.
7. Elementi di Geometria Analitica (3h)
Sistema di riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane di un punto. Distanza tra due punti nel piano. La retta. Equazioni della retta: equazione cartesiana, equazione esplicita. Equazione cartesiana degli assi coordinati. Coefficiente angolare di una retta. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità tra due rette. Esercizi.
8. Integrazione (6h)
L'integrale definito: definizione e interpretazione geometrica. Primitiva di una funzione. Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo. L'integrale indefinito, definizione e confronto con l'integrale definito. Calcolo di alcuni integrali immediati
o che siano riconducibili, mediante semplici artifici, ad integrali immediati. Esercizi.

Italian

1. Real Numbers (2h)
2. Real functions,
inequalities. domains
3. Limits of functions 4. Differential calculus
5. Applications of
differential calculus 6. Matrices and linear
systems
7. Elements of analytic
geometry
8. Integration

P. Marcellini, C. Sbordone. Matematica generale, Liguori Editore, Napoli, 2007.
P. Marcellini, C. Sbordone. Esercitazioni di Matematica 1, parte I e II, Liguori Editore, Napoli, 1991.
Other references:
- Robert A. Adams (2013), Christopher Essex. Calculus: A Complete Course. Pearson Education Canada.
- Serge Lang (2002), Short calculus. Springer-Verlag, New York.

The course aims to provide the student with the basic knowledge of mathematics and to make them acquire mastery in applying the calculation techniques in order to be able to apply them, adequately, to the specific mathematical problems that he will encounter in his studies.

1. Knowledge and understanding:
The student will demonstrate Knowledge, understanding of the basic concepts of analysis, and the use of an appropriate symbolic and scientific language. Starting from the usual numerical sets, the aim is to lead the student along a path that, starting from the rules of the elementary calculus, arrive to develop his ability in the understanding the text of a given exercise, in translating the corresponding mathematical problem, then, in deducing the appropriate and optimal strategy of resolution. In particular, the student will be able to study and to represent the graph of a function, to compute definite and indefinite integral of a function, to solve a linear system, in particular, by using the matrices theory, to perform operations between vectors and matrices, to compute the determinant, the rank and the inverse of a matrix. The mathematical method to use is based on: understanding of the text, observation of data, appropriate use of theoretical notions, selection and choice of possible and optimal strategies for the resolution, and, finally, description of the concepts which has to be rigorous and expressed in an appropriate language.

2. Ability to apply knowledge and understanding
Acquisition of competence on notions to be applied to the resolution of exercises and problems, by preferring a logical-deductive approach of the properties of the involved topics, rather than to their mechanical application. The aim is, not only, to optimize the time for the resolution, but, especially, to get, develop and consolidate a mastery of the used contents, trained by their ability in reasoning to understand, every time, the way and the optimal properties to apply to the individual and specific problem to solve, proceeding with precision, mental order, expository clarity and appropriate scientific language.

Making judgments:
The student has to be able to formulate a problem in a mathematical approach to describe a real phenomenon.

Communication:
The student has to be able to answer the oral test questions, showing his ability to express and formalize mathematical concepts. He has to be able to explain the techniques learned to solve the questions of the written exam.

Lifelong learning skills:
The student has to develop the ability to use mathematical tools to solve application problems.

Set theory. Naturals, integers, rational and real numbers. Basic rules of the elementary calculus: m.c.m. and M.C.D., calculus of algebraic expressions, decomposition of polynomials, properties of powers and operations between powers, operation between radicals, equations and inequalities of the 1st and 2nd degree. Basic notions of analytical geometry: Cartesian coordinates of a point in the plane. The straight line, Angular coefficient of a straight line. Parallelism and perpendicularity condition between two straight lines.

The course includes oral frontal lectures with interactive methods. Presentation of concepts with examples and exercises, which aimed at the use of mathematical methods studied. Therefore lectures with exercises and collective complements are planned. Since attendance is mandatory, it is strongly recommended and verified, at the end of each lesson, by signi, with the student's signature, the attendance sheet prepared by the teacher.

The assessment is based on a written test and an oral test. The final evaluation will be determined as the average of the evaluations of the two tests. The written text (duration 120 minutes) is composed of exercises in order to assess the achievement by the student of the learning objectives. It is divided into n. 4 exercises related to the topics of the program and n.5 optional theoretical questions.
The 4 exercises are assigned as follows:
no. 2 exercises on topics chosen among: study of function, determination of the domain, of the asymptotes, of the sign, of the derivative, of the monotonicity, of the relative extrema of a function;
no. 1 exercise on matrix calculus and/or the study of the compatibility of a linear system through the use of matrix calculus;
no.1 exercise on the calculation of an immediate integral or an integral that, through simple artifices, can be reduced to an immediate ones.
The 5 optional theoretical questions focus on all the topics of the program.
During the examination, the use of notes, books and informatics devices (smartphone, tablet, pc, ecc.) is not allowed.
In the written test, the student's ability to approach exercises and problems will be assessed, activating correct calculation procedures and rigorous reasoning for their resolution, with possible links between different topics. The ability to present ordered and coherent presentations will also be assessed.
Only those who have passed the written test with a minimum grade of 18/30 can take the oral exam.
The oral exam focuses on the theoretical topics dealt with during the course and it is designed to evaluate the student's ability to express and formalize mathematical concepts.
In case of exhaustive answers to the optional questions assigned in the written test, the oral test will be limited to a discussion on the contents addressed, aimed only in assessing the student's ability to argue the same by exposing them with precision, rigor and adequate scientific language.
In the case of absent or partial answer to the optional questions, a complete or partial discussion will proceed, aimed at investigating the knowledge of the topics of the program carried out and the property of language in the exposition of the same.
The oral exam is aimed at verifying the knowledge and skills acquired. The student will be evaluated on the basis of knowledge of the contents developed, the ability to argue the same through appropriate logical-deductive reasoning, as well as independent judgement, communication skills and learning ability.

Tutoring activities are planned

1. Real Numbers (2h)
Hints of set theory. Numerical sets IN, Z and Q. Real number set IR and axiomatic theory of IR. 2. Real functions. Inequalities. Domains (14h)
Definition of function. Injective, surjective, bijective functions. Invertible functions, Composition of functions. Monotone functions. The graph of a function. Elementary functions, properties, study of their invertibility and graphs: linear function, absolute value function, power function (cases exponents 2 and 3), root function, (cases indices 2 and 3), exponential function, logarithm function. Trigonometric functions: properties, study of their invertibility, their inverse and graphs.
First and second degree equations and inequalities. Systems of inequalities. Fractional inequalities. Exponential inequalities. Logarithmic inequalities. Inequalities with absolute value. Domain of a function. Exercises. 3. Limits of functions (4h)
Limit of a function: definitions. Left and right limit of a function. Examples and properties of limit of functions. Operations with limits and indeterminate forms. Continuous function: definition. Discontinuity of a function: classification. Exercises. 4. Differential calculus (7h)
Derivative: definition. Theorem on the continuity of a differentiable function. Operations with the derivatives. Derivative of the composite function. Derivative of the inverse function. Derivative of the constant function. Derivative of all elementary functions. Geometric meaning of the derivative. Tangent straight line. Second derivative. 5. Applications of differential calculus (5h)
Absolute and local maximum and minimum of a function. Fermat theorem (statement). Rolle and Lagrange theorems: statement and geometric interpretation. Increasing and decreasing functions: monotonicity criterion. De L’Hopital theorem. Asymptotes of a function. Study of the graph of a function. Study of the properties of a function by the observation of its graph. Exercises. 6. Matrices and Linear systems (7h)
Matrices . Operations with matrices : sum of matrices, product by a scalar, product rows by columns. Determinant of a matrix (cases matrices 2x2 and 3x3). Properties of determinants. Matrices: symmetric, antisymmetric, diagonal, triangular, scalar. Invertible matrices. Inverse of a matrix. Minors of a matrix. Rank of a matrix. Matrix form of a linear system. Compatibility of a linear system. Cramer theorem. Rouché-Capelli theorem. Homogeneous systems: theorem on the existence of non-trivial solutions. Exercises. 7. Elements of analytic geometry (3h)
Cartesian coordinates of a point in the plane. Distance between two points in the plane. The straight line: equations of the straight line, cartesian equation, explicit form equation. Cartesian equation of the coordinate axes. Angular coefficient of a straight line. Condition of parallelism and perpendicularity between two straight lines. Exercises.
8. Integration (6h) The definite integral: definition and geometric interpretation. Primitive of a function. Characterization of the primitives of a function in a range. The indefinite integral: definition and comparison with the definite integral. Immediate integrals list. Calculation of integral which are immediate either can be traced back, through simple artifices, to immediate integrals. Exercises.